Demostración de la Derivada de la Función Coseno
La función trigonométrica coseno de un ángulo se define como la relación entre un lado adyacente a un ángulo en un triángulo rectángulo y la hipotenusa. Ilustrándolo a través de una figura, tenemos
donde C es 90 °. Para el triángulo de la derecha de la muestra, obtener el coseno del ángulo A se puede evaluar como
$latex \cos{(A)} = \frac{b}{c}$
donde A es el ángulo, b es su lado adyacente y c es la hipotenusa del triángulo rectángulo de la figura.
Antes de aprender la prueba de la derivada de la función coseno, se le recomienda aprender el teorema de Pitagorean, Soh-Cah-Toa y Cho-Sha-Cao, y el primer principio de los límites como requisitos previos.
Recordemos que cualquier función se puede derivar igualándola al límite de
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$$
Supongamos que nos piden obtener la derivada de
$latex f(x) = \cos{(x)}$
tenemos
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \cos{(x+h)} – \cos{(x)} }{h}}$$
Analizando nuestra ecuación, podemos observar que el primer término en el numerador del límite es un coseno de la suma de dos ángulos x y h. Con esta observación, podemos tratar de aplicar las identidades de suma y diferencia para coseno y seno, también llamadas identidades de Ptolomeo. Aplicando esto, tenemos
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \cos{(x+h)} – \cos{(x)} }{h}}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ (\cos{(x)}\cos{(h)} – \sin{(x)}\sin{(h)}) – \cos{(x)} }{h}}$$
Intentemos reorganizar el numerador,
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \cos{(x)}\cos{(h)} – \cos{(x)} – \sin{(x)}\sin{(h)} }{h}}$$
Teniendo en cuenta el primer y segundo términos de nuestro numerador reorganizado, tenemos
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \cos{(x)}(\cos{(h)} – 1) – \sin{(x)}\sin{(h)}) }{h}}$$
Haciendo algunos arreglos algebraicos, tenemos
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \cos{(x)} (-(1-\cos{(h)})) – \sin{(x)}\sin{(h)} }{h}}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ -\cos{(x)} (1-\cos{(h)}) – \sin{(x)}\sin{(h)} }{h}}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} { \left( \frac{ -\cos{(x)} (1-\cos{(h)}) }{h} – \frac{ \sin{(x)}\sin{(h)} }{h} \right) }$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ -\cos{(x)} (1-\cos{(h)}) }{h} } – \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ \sin{(x)}\sin{(h)} }{h} }$$
Como estamos calculando el límite en términos de h, todas las funciones que no sean h se considerarán constantes. Reorganizando, tenemos
$$\frac{d}{dx} f(x) = -\cos{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ (1-\cos{(h)}) }{h} } \right) – \sin{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ \sin{(h)} }{h} } \right)$$
De acuerdo con los límites de las funciones trigonométricas, el límite de la función trigonométrica $latex \cos(\theta)$ a $latex \theta$ a medida que $latex \theta $ tiende a cero es igual a uno. Lo mismo se puede aplicar a $latex \cos(h)$ sobre $latex H$. Aplicando, tenemos
$$\frac{d}{dx} f(x) = -\cos{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ (1-\cos{(h)}) }{h} } \right) – \sin{(x)} \cdot 1$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = -\cos{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ (1-\cos{(h)}) }{h} } \right) – \sin{(x)}$$
Ya hemos evaluado el límite del último término. Sin embargo, el primer término aún es imposible de ser evaluado definitivamente debido al denominador $latex H $. Intentemos usar otra identidad trigonométrica y ver si el truco funcionará.
Podemos intentar usar la identidad de medio ángulo en el numerador del primer término.
$$\frac{d}{dx} f(x) = -\cos{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ (1-\cos{(h)}) }{h} } \right) – \sin{(x)}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = -\cos{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ \left(2\sin^{2}{\left(\frac{h}{2}\right)}\right) }{h} } \right) – \sin{(x)}$$
Al aplicar las reglas de fracción al primer término y reorganizar algebraicamente una vez más, tenemos,
$$\frac{d}{dx} f(x) = -\cos{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ \frac{\sin^{2}{\left(\frac{h}{2}\right)}}{1} }{ \frac{h}{2} }} \right) – \sin{(x)}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = -\cos{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ \sin^{2}{\left(\frac{h}{2}\right)} }{ \frac{h}{2} }} \right) – \sin{(x)}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = -\cos{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ \sin{\left(\frac{h}{2}\right)} \cdot \sin{\left(\frac{h}{2}\right)} }{ \frac{h}{2} }} \right) – \sin{(x)}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = -\cos{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \sin{\left(\frac{h}{2}\right)} \cdot \left( \frac{ \sin{\left(\frac{h}{2}\right)} }{ \frac{h}{2} } \right) }\right) – \sin{(x)}$$
Como notará una vez más, tenemos un seno de una variable sobre esa misma variable. En este caso, es $latex \sin{\left(\frac{h}{2}\right)}$ sobre $latex \frac{h}{2}$. Por lo tanto, podemos aplicar nuevamente los límites de las funciones trigonométricas de $latex \frac{\sin{(\theta)}}{\theta}$.
$$\frac{d}{dx} f(x) = -\cos{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \sin{\left(\frac{h}{2}\right)} \cdot 1} \right) – \sin{(x)}$$
Finalmente, hemos logrado evaluar el límite del primer término. Evaluando sustituyendo el valor de aproximación de $latex h$, tenemos
$$\frac{d}{dx} f(x) = -\cos{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \sin{\left(\frac{h}{2}\right)} }\right) – \sin{(x)}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = -\cos{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \sin{\left(\frac{0}{2}\right)}} \right) – \sin{(x)}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = -\cos{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \sin{(0)}} \right) – \sin{(x)}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = -\cos{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} {0} \right) – \sin(x)$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = -\cos{(x)} \cdot 0 – \sin{(x)}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = -\sin{(x)}$$
Por tanto, la derivada de la función trigonométrica ‘coseno’ es:
$$\frac{d}{dx} (\cos{(x)}) = -\sin{(x)}$$
Gráfico de coseno de x vs. la derivada del coseno de x
La gráfica de la función
$latex f(x) = \cos{(x)}$
es
Al derivar a la función $latex f(x) = \cos{(x)}$, obtenemos
$latex f'(x) = -\sin{(x)}$
que se ilustra gráficamente como
Ilustrando ambas gráficas en una, tenemos
Analizando a estas funciones a través de estas gráficas, vemos que la función original $latex f(x) = \cos(x)$ tiene un dominio de
$latex (-\infty,\infty)$ o todos los números reales
y existe dentro del rango de
$latex [-1,1]$
mientras que la derivada $latex f ‘(x) = -\sin(x)$ tiene un dominio de
$latex (-\infty,\infty)$ o todos los números reales
y existe dentro del rango de
$latex [-1,1]$
Ejemplos
A continuación se muestran algunos ejemplos de cómo encontrar la derivada de una función coseno compuesta usando la regla de la cadena:
EJEMPLO 1
Encuentra la derivada de $latex f(x) = \cos(6x)$
Solución
La función coseno dada es una función compuesta, en donde $latex 6x $ es una función interna. Esto significa que tenemos que usar la regla de la cadena.
Si es que consideramos a $latex u=5x$ como la función interna, tenemos $latex f(u)=\cos(u)$. Entonces, al usar la regla de la cadena, tenemos:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$$
$$\frac{dy}{dx}=-\sin(u) \times 6$$
Sustituyendo $latex u=6x$ de vuelta en la función, tenemos:
$$\frac{dy}{dx}=-6\sin(6x)$$
EJEMPLO 2
¿Cuál es la derivada de $latex F(x) = \cos(4x^2+5 )$?
Solución
Tenemos una función coseno compuesta, por lo que vamos a usar la regla de la cadena.
Podemos expresar a la función coseno como $latex f (u) = \cos(u)$, donde $latex u = 4x^2+5$.
Entonces, la derivada de la función exterior $latex f(u)$ es:
$$\frac{d}{du} ( \cos(u)) = -\sin(u)$$
Ahora, encontramos la derivada de la función interna $latex g(x)$ o $latex u$:
$$\frac{d}{dx}(g(x)) = \frac{d}{dx}(4x^2+5)$$
$$\frac{d}{dx}(g(x)) = 8x$$
La regla de la cadena nos dice que multiplicamos a la derivada de la función externa $latex f(u)$ por la derivada de la función interna $latex g(x)$. Entonces,
$$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (f(u)) \cdot \frac{d}{dx} (g(x))$$
$$\frac{dy}{dx} = -\sin(u) \cdot 8x$$
Por último, substituimos $latex u$ en $latex f'(u)$ y simplificamos:
$$\frac{dy}{dx} = -\sin(4x^2+5) \cdot 8x$$
$$\frac{dy}{dx} = -8x\sin(4x^2+5)$$
EJEMPLO 3
Deriva la función $latex f(x) = \cos(\sqrt{x})$
Solución
Para usar la regla de la cadena, consideramos a $latex u=\sqrt{x}$ como la función interna.
Luego, reescribimos a $latex u=\sqrt{x}$ como $latex u=x^{\frac{1}{2}}$ para facilitar el problema. Entonces, la derivada $latex \frac{du}{dx}$ es:
$$\frac{du}{dx}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$
Ahora, escribimos $latex f(u)=\cos(u)$ y usando la regla de la cadena, tenemos:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$$
$$\frac{dy}{dx}=-\sin(u) \times \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$
Usando $latex u=\sqrt{x}$ y simplificando, tenemos:
$$\frac{dy}{dx}=-\sin(\sqrt{x}) \times \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$
$$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{2\sqrt{x}}\sin(\sqrt{x})$$
Práctica de derivadas de funciones coseno compuestas
Práctica de derivadas de coseno
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Véase también
¿Interesado en aprender más sobre derivadas de funciones trigonométricas? Mira estas páginas:
- Derivada de Seno, sin(x) – Fórmula, Demostración y Gráficas
- Derivada de Tangente, tan(x) – Fórmula, Demostración y Gráficas
- Derivada de Secante, sec(x) – Fórmula, Demostración y Gráficas
- Derivada de Cosecante, csc(x) – Fórmula, Demostración y Gráficas
- Derivada de Cotangente, cot(x) – Fórmula, Demostración y Gráficas
FAQs
¿Cuál es la derivada de coseno de x? ›
Usando el hecho de que la derivada de sin(x) es cos(x), utilizamos ayudas visuales para mostrar que la derivada de cos(x) es -sin(x).
¿Cómo calcular la derivada de coseno? ›La derivada del coseno de una función es igual al seno de dicha función, multiplicado por la derivada de la misma y por menos 1, es decir, se cambia del signo positivo al negativo o viceversa.
¿Cuál es la derivada del seno de x? ›Derivada de
sen x = cos x. Eso es todo lo que hay que hacer!
Qué significa derivada de la función cotangente en Matemáticas. La derivada de la función cotangente es igual a menos el cuadrado de la cosecante de la función por la derivada de la función.
¿Cómo graficar el coseno de x? ›Para graficar a la función coseno, marcamos al ángulo a lo largo del eje horizontal x y para cada ángulo, colocamos al coseno de ese ángulo en el eje vertical y. El resultado de esto es una curva que varía de +1 hasta -1.
¿Qué puedo afirmar de la derivada del coseno de una función? ›¿Que puedes afirmar de la derivada del coseno de una función? Por lo tanto, podemos afirmar que: La derivada del coseno de una función f en un punto x es el límite cuando h tiende a cero de la expresión: (cos f(x+h) - cos f(x))/h.
¿Qué es la fórmula de coseno? ›El coseno de un ángulo es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa. Se expresa por cos. En una circunferencia goniométrica el coseno de un ángulo es igual a la abscisa.
¿Cuáles son las seis fórmulas derivadas de funciones trigonométricas? ›Las seis funciones trigonométricas tienen fórmulas de diferenciación que se pueden usar en varios problemas de aplicación de la derivada. The six basic trigonometric functions include the following: sine (sin x), cosine (cos x), tangent (tan x), cotangent (cot x), secant (sec x) and cosecant (cosec x) .
¿Cuál es la derivada de cos y sen? ›Ahora exploramos la intuición detrás de las derivadas de funciones trigonométricas, descubriendo que la derivada de sin(x) es cos(x) y la derivada de cos(x) es -sin(x) .
¿Cómo graficar el seno de x? ›Cómo graficar una función seno
Lo primero que hay que hacer evaluar la funcion en los valores de “x” que antes se mencionan. Posteriormente a esto, se colocan los puntos en el plano cartesiano y luego se unen estos puntos con una línea que sea curva y de esta manera ya estaría la funcion seno graficada.
¿Cómo encuentras la segunda derivada de seno y coseno? ›
Por ejemplo, para encontrar la segunda derivada de la función seno, tomamos la derivada de cos(x), su primera derivada . Podemos encontrar la segunda derivada de la función coseno tomando de manera similar la derivada de –sin(x), su primera derivada.
¿Cuánto es sen por cos? ›La tangente es la relación entre el seno y el coseno.
¿Qué es la derivada y su fórmula? ›La derivada de la función f en x=c es el límite de la pendiente de la línea secante de x=c a x=c+h cuando h tiende a 0. Simbolicamente, este es el límite de [f(c)-f(c+h)]/h cuando h→0. Creado por Sal Khan.
¿Cómo sacar la derivada de la cosecante? ›La derivada de la cosecante de una función f(x) es igual a la derivada de esta, por la cosecante de la función y por la cotangente de f(x). Todo ello, multiplicado por -1.
¿Cuál es la derivada del seno negativo? ›La derivada de sen 𝑥 es cos 𝑥. La derivada de coseno de 𝑥 es menos seno de 𝑥. La derivada de menos seno 𝑥 es menos coseno 𝑥 . Y la derivada de menos coseno 𝑥 es sen 𝑥.
¿Qué tipo de función es y Cos X? ›3.2.
Es una función periódica, y su período es 2 . π 3. La función y=cosx es par, ya que cos(-x)=cos x, para todo x en IR.
En el intervalo [0, 2 π ), sabemos que cos x = 0 cuando x = π /2 y x = 3 π /2.
¿Qué son las derivadas de seno coseno y tangente? ›La derivación de las funciones trigonométricas es el proceso matemático de encontrar el ritmo al cual una función trigonométrica cambia respecto de la variable independiente; es decir, la derivada de la función. Las funciones trigonométricas más habituales son las funciones sen(x), cos(x) y tan(x).